ویکٹر فیلڈ کا بہاؤ اور گردش
N Richard Feynman کے لیکچر مواد پر مبنی
ویکٹر فیلڈز کے حوالے سے بجلی کے قوانین کو بیان کرتے وقت، ہمیں ویکٹر فیلڈ کی ریاضی کے لحاظ سے دو اہم خصوصیات کا سامنا کرنا پڑتا ہے: بہاؤ اور گردش۔ یہ سمجھنا اچھا ہو گا کہ یہ ریاضیاتی تصورات کیا ہیں اور ان کے عملی معنی کیا ہیں۔
سوال کے دوسرے حصے کا فوری جواب دینا آسان ہے کیونکہ بہاؤ اور گردش کے تصورات اس کے دل میں ہیں۔ میکسویل کی مساواتجس پر تمام جدید برقی حرکیات درحقیقت ٹکی ہوئی ہیں۔
لہذا، مثال کے طور پر، برقی مقناطیسی انڈکشن کا قانون اس طرح وضع کیا جا سکتا ہے: بند لوپ C کے ساتھ برقی میدان E کی گردش اس کی پابند سطح S کے ذریعے مقناطیسی میدان B کے بہاؤ کی تبدیلی کی شرح کے برابر ہے۔ لوپ بی
اس کے بعد، ہم واضح سیال مثالوں کا استعمال کرتے ہوئے، بالکل سادہ بیان کریں گے، کہ فیلڈ کی خصوصیات کا ریاضیاتی طور پر تعین کیسے کیا جاتا ہے، جس سے یہ فیلڈ خصوصیات لی جاتی ہیں اور حاصل کی جاتی ہیں۔
ویکٹر فیلڈ فلوکس
شروع کرنے کے لیے، آئیے زیر مطالعہ علاقے کے گرد مکمل طور پر من مانی شکل کی ایک مخصوص بند سطح کھینچتے ہیں۔ اس سطح کی تصویر کشی کے بعد، ہم پوچھتے ہیں کہ کیا مطالعہ کی چیز، جسے ہم فیلڈ کہتے ہیں، اس بند سطح سے گزرتی ہے؟ یہ سمجھنے کے لیے کہ یہ سب کیا ہے، ایک سادہ مائع مثال پر غور کریں۔
ہم کہتے ہیں کہ ہم ایک مخصوص سیال کی رفتار کے میدان کی تحقیقات کر رہے ہیں۔ ایسی مثال کے لیے، یہ پوچھنا سمجھ میں آتا ہے: کیا فی یونٹ وقت میں اس سطح سے زیادہ سیال اس سطح سے جکڑے ہوئے حجم میں بہنے سے گزرتا ہے؟ دوسرے لفظوں میں، کیا خارجی بہاؤ کی شرح ہمیشہ بنیادی طور پر اندر سے باہر کی جاتی ہے؟
اظہار "ویکٹر فیلڈ فلوکس" کے ذریعہ (اور ہماری مثال کے طور پر اظہار "فلوڈ ویلوسٹی فلوکس" زیادہ درست ہوگا)، ہم خیالی سیال کی کل مقدار کا نام دینے پر اتفاق کریں گے جو تصور شدہ حجم کی سطح سے گزرتا ہے بند سطح (سیال کے بہاؤ کی شرح کے لیے، فی یونٹ وقت کے حجم سے کتنا سیال فالو کرتا ہے)۔
نتیجے کے طور پر، سطحی عنصر کے ذریعے بہاؤ رفتار کے عمودی جزو کے ذریعہ سطحی عنصر کے رقبے کی پیداوار کے برابر ہوگا۔ پھر پوری سطح پر کل (کل) بہاؤ رفتار کے اوسط عام جزو کی پیداوار کے برابر ہوگا، جسے ہم سطح کے کل رقبے کے حساب سے اندر باہر سے شمار کریں گے۔
اب واپس الیکٹرک فیلڈ کی طرف۔ بلاشبہ برقی میدان کو کسی مائع کے بہاؤ کی رفتار نہیں سمجھا جا سکتا، لیکن ہم بہاؤ کا ایک ریاضیاتی تصور متعارف کرانے کے حقدار ہیں، جیسا کہ ہم نے اوپر بیان کیا ہے کہ مائع کی رفتار کے بہاؤ کا۔
صرف برقی میدان کی صورت میں، اس کے بہاؤ کا تعین الیکٹرک فیلڈ کی طاقت E کے اوسط عام جزو سے کیا جا سکتا ہے۔ اس کے علاوہ، برقی میدان کے بہاؤ کا تعین ضروری نہیں کہ بند سطح کے ذریعے کیا جائے، بلکہ کسی بھی بند سطح کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ غیر صفر کے علاقے S .
ویکٹر فیلڈ کی گردش
یہ بات سب کو معلوم ہے کہ زیادہ وضاحت کے لیے، قطعات کو قوت کی نام نہاد لکیروں کی شکل میں دکھایا جا سکتا ہے، جس کے ہر ایک نقطے پر ٹینجنٹ کی سمت فیلڈ کی طاقت کی سمت کے ساتھ ملتی ہے۔
آئیے سیال کی تشبیہ پر واپس جائیں اور سیال کی رفتار کے میدان کا تصور کریں۔ آئیے اپنے آپ سے ایک سوال پوچھیں: کیا سیال گردش کرتا ہے؟ یعنی، کیا یہ بنیادی طور پر کچھ خیالی بند لوپ کی سمت میں حرکت کرتا ہے؟
زیادہ وضاحت کے لیے، تصور کریں کہ ایک بڑے کنٹینر میں مائع کسی طرح حرکت کر رہا ہے (تصویر اے) اور ہم نے اچانک اس کا تقریباً تمام حجم منجمد کر دیا، لیکن ایک یکساں طور پر بند ٹیوب کی صورت میں حجم کو غیر منجمد چھوڑنے میں کامیاب ہو گئے جس میں کوئی نہیں ہے۔ دیواروں پر مائع کا رگڑ (تصویر ب)۔
اس ٹیوب کے باہر، مائع برف کی طرف مڑ گیا ہے اور اس وجہ سے وہ مزید حرکت نہیں کر سکتا، لیکن ٹیوب کے اندر مائع اپنی حرکت کو جاری رکھنے کے قابل ہے، بشرطیکہ ایک موجودہ رفتار ہو جو اسے چلاتی ہو، مثال کے طور پر، گھڑی کی سمت میں (تصویر 1)۔ ° C) پھر ٹیوب میں سیال کی رفتار اور ٹیوب کی لمبائی کی پیداوار کو سیال کی رفتار کی گردش کہا جائے گا۔
اسی طرح، ہم ایک ویکٹر فیلڈ کے لیے گردش کی وضاحت کر سکتے ہیں، اگرچہ دوبارہ فیلڈ کو کسی بھی چیز کی رفتار نہیں کہا جا سکتا، لیکن ہم اس کے باوجود ایک سموچ کے ساتھ "سرکولیشن" کی ریاضیاتی خصوصیت کی وضاحت کر سکتے ہیں۔
لہذا، ایک خیالی بند لوپ کے ساتھ ویکٹر فیلڈ کی گردش کو لوپ کے گزرنے کی سمت میں ویکٹر کے اوسط ٹینجینٹل جزو کی پیداوار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے — لوپ کی لمبائی سے۔