رابطہ سرکٹ الجبرا کے قوانین، بولین الجبرا

ریلے سرکٹس کی ساخت اور آپریٹنگ حالات کا ایک تجزیاتی ریکارڈ سرکٹس کی تجزیاتی مساوی تبدیلیوں کو انجام دینا ممکن بناتا ہے، یعنی ساختی فارمولوں کو تبدیل کرکے، ان کے آپریشن میں اسی طرح کی اسکیموں کو تلاش کرنا۔ تبادلوں کے طریقے خاص طور پر رابطہ سرکٹس کا اظہار کرنے والے ساختی فارمولوں کے لیے مکمل طور پر تیار کیے گئے ہیں۔

رابطہ سرکٹس کے لیے، منطق کے الجبرا کا ریاضیاتی اپریٹس استعمال کیا جاتا ہے، زیادہ واضح طور پر، اس کی سب سے آسان قسموں میں سے ایک، جسے تجویز کیلکولس یا بولین الجبرا کہا جاتا ہے (پچھلی صدی کے ریاضی دان جے بول کے بعد)۔

تجویزی کیلکولس اصل میں انحصار کا مطالعہ کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا (سچائی یا جھوٹ پر پیچیدہ فیصلوں کی سچائی یا جھوٹ جو کہ ان کو تشکیل دیتے ہیں۔ جوہر میں، تجویزی کیلکولس دو نمبروں کا ایک الجبرا ہے، یعنی ایک الجبرا۔ جس میں ہر انفرادی دلیل اور ہر فنکشن کی دو قدروں میں سے ایک ہو سکتی ہے۔

یہ رابطہ سرکٹس کو تبدیل کرنے کے لیے بولین الجبرا کے استعمال کے امکان کا تعین کرتا ہے، کیونکہ ساختی فارمولے میں شامل ہر دلائل (رابطے) صرف دو قدریں لے سکتے ہیں، یعنی یہ بند یا کھلا ہو سکتا ہے، اور پورے فنکشن کی نمائندگی ساختی فارمولہ یا تو بند یا کھلی لوپ کا اظہار کر سکتا ہے۔

بولین الجبرا کا تعارف:

1) اشیاء جن کے، عام الجبرا کی طرح، نام ہیں: آزاد متغیرات اور افعال — تاہم، عام الجبرا کے برعکس، بولین الجبرا میں دونوں صرف دو قدریں لے سکتے ہیں: 0 اور 1؛

2) بنیادی منطقی آپریشنز:

• منطقی اضافہ (یا منقطع، منطقی OR، علامت سے ظاہر ہوتا ہے؟)، جس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے: آپریشن کا نتیجہ 0 ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آپریشن کے تمام دلائل 0 کے برابر ہوں، ورنہ نتیجہ 1 ہے؛

• منطقی ضرب (یا کنکٹنیشن، منطقی AND، کی طرف سے اشارہ کیا گیا ہے؟، یا بالکل بھی بیان نہیں کیا گیا) جس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے: آپریشن کا نتیجہ 1 ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آپریشن کے تمام دلائل 1 کے برابر ہوں، ورنہ نتیجہ 0 ہے؛

• نفی (یا اس کے برعکس، منطقی NOT، دلیل کے اوپر ایک بار سے اشارہ کیا گیا ہے)، جس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے: آپریشن کے نتیجے میں دلیل کے برعکس قدر ہوتی ہے؛

3) محور (بولین الجبرا کے قوانین)، جو منطقی اظہار کو تبدیل کرنے کے قواعد کی وضاحت کرتے ہیں۔

نوٹ کریں کہ ہر ایک منطقی عمل متغیرات اور فنکشنز دونوں پر انجام دیا جا سکتا ہے، جسے ذیل میں بولین فنکشنز کہا جائے گا... یاد رکھیں کہ، عام الجبرا کے ساتھ مشابہت سے، بولین الجبرا میں، منطقی ضرب کے عمل کو منطقی پر فوقیت حاصل ہے۔ اضافی آپریشن.

بولین اظہارات متعدد اشیاء (متغیرات یا افعال) پر منطقی کارروائیوں کو ملا کر تشکیل پاتے ہیں، جنہیں آپریشن کے دلائل کہتے ہیں۔

بولین الجبرا کے قوانین کا استعمال کرتے ہوئے منطقی اظہار کی تبدیلی عام طور پر کم سے کم کرنے کے مقصد سے کی جاتی ہے، کیونکہ اظہار جتنا آسان ہوگا، منطقی سلسلہ کی پیچیدگی اتنی ہی کم ہوگی، جو کہ منطقی اظہار کا تکنیکی نفاذ ہے۔

بولین الجبرا کے قوانین کو محور اور نتائج کے ایک مجموعہ کے طور پر پیش کیا گیا ہے۔ متغیرات کی مختلف قدروں کو بدل کر ان کو کافی آسانی سے چیک کیا جا سکتا ہے۔

بولین فنکشن کے لیے کسی بھی منطقی اظہار کا تکنیکی اینالاگ ایک منطقی خاکہ ہے... اس صورت میں، وہ متغیرات جن پر بولین فنکشن کا انحصار ہوتا ہے اس سرکٹ کے بیرونی ان پٹ سے جڑے ہوتے ہیں، بولین فنکشن کی قدر اس وقت بنتی ہے۔ سرکٹ کا بیرونی آؤٹ پٹ، اور ہر منطقی عمل کو ایک منطقی اظہار میں ایک منطقی عنصر کے ذریعے لاگو کیا جاتا ہے۔

اس طرح، لاجک سرکٹ کے آؤٹ پٹ پر ان پٹ سگنلز کے ہر سیٹ کے لیے، ایک سگنل تیار ہوتا ہے جو متغیرات کے اس سیٹ کے بولین فنکشن کی قدر سے مطابقت رکھتا ہے (مزید برآں، ہم درج ذیل کنونشن کا استعمال کریں گے: 0 — کم سگنل کی سطح ، 1 - سگنل کی اعلی سطح)۔

لاجک سرکٹس کی تعمیر کرتے وقت، ہم یہ فرض کریں گے کہ متغیرات کو پیرا فیز کوڈ میں ان پٹ کو فیڈ کیا گیا ہے (یعنی متغیر کی براہ راست اور الٹی دونوں قدریں دستیاب ہیں)۔

جدول 1 GOST 2.743-91 کے مطابق کچھ منطقی عناصر کے روایتی گرافک عہدوں کے ساتھ ساتھ ان کے غیر ملکی ہم منصبوں کو بھی دکھاتا ہے۔

ان عناصر کے علاوہ جو ٹیب میں بولین الجبرا (AND, OR, NOT) کے تین آپریشن انجام دیتے ہیں۔ 1 ان عناصر کو دکھاتا ہے جو مین سے اخذ کردہ آپریشن انجام دیتے ہیں:

— اور نہیں — منطقی ضرب کی نفی، جسے شیفر موو بھی کہا جاتا ہے (کی طرف سے اشارہ کیا جاتا ہے |)

— یا نہیں — منطقی تکمیل کی نفی، جسے پیرس کا تیر بھی کہا جاتا ہے (کی طرف سے اشارہ کیا جاتا ہے؟)

منطقی دروازوں کو ایک ساتھ جوڑ کر، آپ کسی بھی بولین فنکشن کو نافذ کر سکتے ہیں۔

عام طور پر ریلے سرکٹس کا اظہار کرنے والے ساختی فارمولے، یعنی رد عمل کرنے والے عقاب کی علامتوں پر مشتمل، کو صرف بند یا کھلے سرکٹ کا اظہار کرنے والی دو قدروں کے افعال کے طور پر شمار نہیں کیا جا سکتا۔ لہذا، اس طرح کے فنکشنز کے ساتھ کام کرتے وقت، کئی نئے انحصار پیدا ہوتے ہیں جو بولین الجبرا کی حدود سے باہر نکل جاتے ہیں۔

بولین الجبرا میں، بنیادی قوانین کے چار جوڑے ہیں: دو نقل مکانی، دو مشترکہ، دو تقسیمی، اور دو قانونی الٹ۔ یہ قوانین مختلف اظہار کی مساوات قائم کرتے ہیں، یعنی وہ ایسے تاثرات پر غور کرتے ہیں جو عام الجبرا میں شناخت کے متبادل کی طرح ایک دوسرے کے لیے متبادل ہو سکتے ہیں۔ ایک مساوات کی علامت کے طور پر ہم اس علامت کو لیتے ہیں جو عام الجبرا (=) میں مساوات کی علامت کی طرح ہے۔

رابطہ سرکٹس کے لیے بولین الجبرا کے قوانین کی درستگی کو مساوی اظہار کے بائیں اور دائیں جانب سے ملنے والے سرکٹس پر غور کر کے قائم کیا جائے گا۔

سفری قوانین

شامل کرنے کے لیے: x + y = y + x

ان تاثرات سے متعلق اسکیمیٹکس کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ 1، ایک.

بائیں اور دائیں سرکٹس عام طور پر کھلے سرکٹس ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک عنصر (X یا Y) کے متحرک ہونے پر بند ہو جاتا ہے، یعنی یہ سرکٹس برابر ہوتے ہیں۔ ضرب کے لیے: x ·y = y ·NS۔

ان تاثرات سے متعلق اسکیمیٹکس کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ 1b، ان کی مساوات بھی واضح ہے۔

چاول۔ 1

امتزاج کے قوانین

اضافے کے لیے: (x + y) + z = x + (y + z)

ضرب کے لیے: (x · y) · z = x · (y · z)

ان تاثرات سے مطابقت رکھنے والے مساوی سرکٹس کے جوڑے تصویر میں دکھائے گئے ہیں۔ 2، اے، بی

چاول۔ 2

تقسیم کے قوانین

ضرب بمقابلہ اضافہ: (x + y) +z = x + (y + z)

اضافہ بمقابلہ ضرب۔ x · y + z = (x + z) · (y + z)

ان تاثرات سے متعلق اسکیمیٹکس کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ 3، اے، بی۔

چاول۔ 3.

ان اسکیموں کے مساوی ہونے کی تصدیق رابطہ عمل کے مختلف مجموعوں پر غور کرکے آسانی سے کی جاسکتی ہے۔

الٹا قوانین

اس کے علاوہ: NS + c = NS·c

اظہار کے بائیں جانب اوپر والا بار ایک نفی یا الٹا نشان ہے۔ یہ نشان اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ نفی کے نشان کے نیچے اظہار کے حوالے سے پورے فنکشن کا الٹا مطلب ہے۔ پورے الٹے فنکشن سے مطابقت رکھنے والا خاکہ بنانا ممکن نہیں ہے۔لیکن منفی نشان کے نیچے اظہار کے مطابق خاکہ کھینچا جا سکتا ہے۔ اس طرح، فارمولے کو تصویر میں دکھائے گئے خاکوں سے واضح کیا جا سکتا ہے۔ 4، ایک.

چاول۔ 4.

بائیں خاکہ ایکسپریشن x + y سے مطابقت رکھتا ہے، اور دائیں NS ·c سے

یہ دونوں سرکٹ آپریشن میں ایک دوسرے کے مخالف ہیں، یعنی: اگر بایاں سرکٹ جس میں غیر پرجوش عناصر X، Y ایک کھلا سرکٹ ہے، تو دائیں سرکٹ بند ہے۔ اگر بائیں سرکٹ میں، جب عناصر میں سے ایک کو متحرک کیا جاتا ہے، تو سرکٹ بند ہوجاتا ہے، اور دائیں سرکٹ میں، اس کے برعکس، یہ کھل جاتا ہے۔

چونکہ، منفی نشان کی تعریف کے مطابق، فنکشن x + y فنکشن x + y کا الٹا ہے، تو یہ ظاہر ہے کہ x + y = NS·in۔

ضرب کے حوالے سے: NS · c = NS + c

متعلقہ اسکیموں کو انجیر میں دکھایا گیا ہے۔ 4، ب.

مترجم اور امتزاج اور قوانین اور ضوابط کے حوالے سے ضرب کا تقسیمی قانون (عام الجبرا کے ملتے جلتے قوانین سے مطابقت رکھتا ہے)۔لہذا، اصطلاحات کے اضافے اور ضرب کی ترتیب میں ساختی فارمولوں کی تبدیلی، بریکٹ کے باہر اصطلاحات کی جگہ اور بریکٹ کی توسیع کی صورت میں، آپ عام الجبری اظہار کے ساتھ کام کرنے کے لیے قائم کردہ اصولوں پر عمل کر سکتے ہیں۔ ضرب کے حوالے سے اضافے کا تقسیمی قانون اور الٹی کے قوانین بولین الجبرا کے لیے مخصوص ہیں۔