نمبر سسٹمز

نمبر کا نظام مختلف عددی علامات کا استعمال کرتے ہوئے اعداد کی نمائندگی کرنے کے لیے قواعد کا ایک مجموعہ ہے۔ نمبر سسٹمز کو دو اقسام میں درجہ بندی کیا گیا ہے: غیر پوزیشنی اور پوزیشنل۔

پوزیشنی نمبر سسٹمز میں، ہر ہندسے کی قدر کا انحصار اس مقام پر نہیں ہوتا جو اس پر ہے، یعنی ہندسوں کے سیٹ میں اس جگہ پر۔ رومن عددی نظام میں، صرف سات ہندسے ہیں: ایک (I)، پانچ (V)، دس (X)، پچاس (L)، ایک سو (C)، پانچ سو (D)، ایک ہزار (M)۔ ان نمبروں (علامتوں) کا استعمال کرتے ہوئے، بقیہ اعداد کو جمع اور گھٹا کر لکھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، IV نمبر 4 (V — I) کا اشارہ ہے، VI نمبر 6 (V + I)، وغیرہ۔ نمبر 666 رومن سسٹم میں اس طرح لکھا جاتا ہے: DCLXVI۔

یہ اشارے اس سے کم آسان ہے جو ہم فی الحال استعمال کرتے ہیں۔ یہاں چھ کو ایک علامت (VI) کے ساتھ، چھ کو دوسرے (LX) کے ساتھ، چھ سو اور تیسرے (DC) کے ساتھ لکھا گیا ہے۔ رومن عددی نظام میں لکھے گئے نمبروں کے ساتھ ریاضی کی کارروائیاں کرنا بہت مشکل ہے۔ اس کے علاوہ، غیر پوزیشنی نظاموں کا ایک عام نقصان ان میں کافی بڑی تعداد کی نمائندگی کرنے کی پیچیدگی ہے جس کے نتیجے میں انتہائی بوجھل اشارے ہوتے ہیں۔

اب پوزیشنل نمبر سسٹم میں اسی نمبر 666 پر غور کریں۔ اس میں، ایک علامت 6 کا مطلب ہے اگر یہ آخری جگہ پر ہے تو دسیوں کی تعداد، اگر یہ آخری جگہ پر ہے تو سینکڑوں کی تعداد، اور اگر یہ اختتام سے تیسرے نمبر پر ہے تو سینکڑوں کی تعداد۔ نمبر لکھنے کے اس اصول کو پوزیشنل (مقامی) کہا جاتا ہے۔ اس طرح کی ریکارڈنگ میں، ہر ہندسہ نہ صرف اس کے انداز پر منحصر ہوتا ہے، بلکہ اس بات پر بھی کہ جب نمبر لکھا جاتا ہے تو وہ کہاں کھڑا ہوتا ہے۔

پوزیشنل نمبر سسٹم میں، کسی بھی نمبر کو A = +a1a2a3 … ann-1an کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے

جہاں n — ایک نمبر کی تصویر میں ہندسوں کی محدود تعداد، ii نمبر i-go ہندسہ، d — نمبر سسٹم کی بنیاد، i — زمرہ کا آرڈینل نمبر، dm-i — i-ro زمرہ کا "وزن" . ہندسوں کو لازمی طور پر عدم مساوات 0 <= a <= (d — 1) کو پورا کرنا ہوگا۔

اعشاریہ اشارے کے لیے، d = 10 اور ai = 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9۔

چونکہ اعداد اور صفر پر مشتمل اعداد کو اعشاریہ یا بائنری نمبر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جب ایک ساتھ استعمال کیا جائے، اس لیے عام طور پر نمبر سسٹم کی بنیاد کی نشاندہی کی جاتی ہے، مثال کے طور پر (1100)2-بائنری، (1100)10-اعشاریہ۔

ڈیجیٹل کمپیوٹرز میں، اعشاریہ کے علاوہ دیگر سسٹمز بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں: بائنری، آکٹل اور ہیکساڈیسیمل۔

بائنری سسٹم

اس سسٹم کے لیے d = 2 اور یہاں صرف دو ہندسوں کی اجازت ہے، یعنی ai = 0 یا 1۔

بائنری سسٹم میں ظاہر کردہ کسی بھی نمبر کو دیے گئے بٹ کے بائنری ہندسے سے دو گنا بیس کی طاقت کی پیداوار کے مجموعہ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، نمبر 101.01 کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2، جو اعشاریہ نظام میں نمبر سے مطابقت رکھتا ہے: 4 + 1 + 0.25 = 5.25

زیادہ تر جدید ڈیجیٹل کمپیوٹرز میں، بائنری نمبر سسٹم کا استعمال مشین میں نمبروں کی نمائندگی کرنے اور ان پر ریاضی کے عمل کو انجام دینے کے لیے کیا جاتا ہے۔

بائنری نمبر سسٹم، اعشاریہ کے مقابلے میں، ریاضی کے آلے اور میموری ڈیوائس کے سرکٹس اور سرکٹس کو آسان بنانا اور کمپیوٹر کی وشوسنییتا کو بڑھانا ممکن بناتا ہے۔ بائنری نمبر کے ہر بٹ کا ہندسہ ایسے عناصر کی "آن/آف" حالتوں سے ظاہر ہوتا ہے جیسے ٹرانزسٹر، ڈائیوڈس، جو "آن/آف" حالتوں میں قابل اعتماد طریقے سے کام کرتے ہیں۔ بائنری سسٹم کے نقصانات میں ایک خصوصی پروگرام کے مطابق اصل ڈیجیٹل ڈیٹا کو بائنری نمبر سسٹم میں ترجمہ کرنے کی ضرورت اور فیصلے کے نتائج کو اعشاریہ میں شامل کرنا شامل ہے۔

اوکٹل نمبر سسٹم

اس سسٹم کی بنیاد d == 8 ہے۔ نمبرز کو نمبرز کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7۔

آکٹل نمبر سسٹم کمپیوٹر میں مسائل کو حل کرنے (پروگرامنگ کے عمل میں)، مشین کے آپریشن کو چیک کرنے اور پروگرام کو ڈیبگ کرنے میں مدد کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ نظام بائنری سسٹم کے مقابلے تعداد کی مختصر نمائندگی کرتا ہے۔ آکٹل نمبر سسٹم آپ کو آسانی سے بائنری سسٹم پر جانے کی اجازت دیتا ہے۔

ہیکساڈیسیمل نمبر سسٹم

اس سسٹم کی بنیاد d = 16 ہے۔ نمبروں کی نمائندگی کے لیے 16 حروف استعمال کیے جاتے ہیں: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, اور حروف A … F اعشاریہ نمبر 10، 11، 12، 13، 14 اور 15 کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ہیکساڈیسیمل نمبر (1D4F) 18 اعشاریہ 7503 کے مساوی ہوگا کیونکہ (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 + 14 15 x 16O = (7503)10

ہیکساڈیسیمل اشارے بائنری نمبروں کو آکٹل کے مقابلے زیادہ کمپیکٹ انداز میں لکھنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ کچھ کمپیوٹرز کے ان پٹ اور آؤٹ پٹ ڈیوائسز اور نمبر آرڈر ڈسپلے ڈیوائسز میں ایپلی کیشن تلاش کرتا ہے۔

بائنری ڈیسیمل نمبر سسٹم

بائنری ڈیسیمل سسٹم میں اعداد کی نمائندگی حسب ذیل ہے۔ نمبر کے اعشاریہ اشارے کو بنیاد کے طور پر لیا جاتا ہے، اور پھر اس کا ہر ہندسہ (0 سے 9 تک) چار ہندسوں کے بائنری نمبر کی شکل میں لکھا جاتا ہے جسے ٹیٹراڈ کہتے ہیں، یعنی نمائندگی کے لیے ایک بھی نشان استعمال نہیں کیا جاتا۔ اعشاریہ نظام کا ہر ہندسہ، لیکن چار۔

مثال کے طور پر، اعشاریہ 647.59 BCD 0110 0100 0111، 0101 1001 کے مساوی ہوگا۔

بائنری ڈیسیمل نمبر سسٹم کو انٹرمیڈیٹ نمبر سسٹم کے طور پر اور ان پٹ اور آؤٹ پٹ نمبرز کو انکوڈنگ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔

ایک نمبر سسٹم کو دوسرے نمبر پر منتقل کرنے کے قواعد

کمپیوٹر ڈیوائسز کے درمیان معلومات کا تبادلہ بنیادی طور پر بائنری نمبر سسٹم میں دکھائے گئے نمبروں کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ تاہم، اعشاریہ نظام میں صارف کو معلومات اعداد میں پیش کی جاتی ہیں، اور کمانڈ ایڈریسنگ آکٹل سسٹم میں پیش کی جاتی ہے۔ لہذا کمپیوٹر کے ساتھ کام کرنے کے عمل میں نمبرز کو ایک سسٹم سے دوسرے سسٹم میں منتقل کرنے کی ضرورت ہے۔ ایسا کرنے کے لیے درج ذیل عمومی اصول کا استعمال کریں۔

کسی پورے نمبر کو کسی بھی نمبر سسٹم سے دوسرے نمبر میں تبدیل کرنے کے لیے ضروری ہے کہ اس نمبر کو نئے سسٹم کی بنیاد سے لگاتار تقسیم کیا جائے جب تک کہ حصہ تقسیم کرنے والے سے کم نہ ہو۔ نئے نظام میں نمبر کو تقسیم کے باقیات کی شکل میں لکھا جانا چاہیے، آخری سے شروع ہو کر، یعنی دائیں سے بائیں۔

مثال کے طور پر، آئیے اعشاریہ 1987 کو بائنری میں تبدیل کریں:

بائنری فارمیٹ میں اعشاریہ نمبر 1987 11111000011 ہے، یعنی (1987)10 = (11111000011)2

کسی بھی نظام سے اعشاریہ میں تبدیل کرتے وقت، تعداد کو متعلقہ کوفیسینٹ کے ساتھ بنیاد کی طاقتوں کے مجموعے کے طور پر دکھایا جاتا ہے، اور پھر رقم کی قدر کا حساب لگایا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، آکٹل نمبر 123 کو اعشاریہ میں تبدیل کریں: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83، یعنی (123)8 = (83)10

کسی نمبر کے کسری حصے کو کسی بھی نظام سے دوسرے نظام میں منتقل کرنے کے لیے، نئے نمبر سسٹم کی بنیاد پر اس کسر اور اس کے نتیجے میں پیدا ہونے والے جزوی حصوں کو لگاتار ضرب لگانا ضروری ہے۔ نئے نظام میں کسی عدد کا جزوی حصہ پہلے سے شروع ہونے والی مصنوعات کے پورے حصوں کی شکل میں بنتا ہے۔ ضرب کا عمل اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک کہ ایک عدد درستگی کے ساتھ شمار نہ کیا جائے۔

مثال کے طور پر، آئیے اعشاریہ 0.65625 کو بائنری نمبر سسٹم میں تبدیل کریں:

چونکہ پانچویں مصنوع کا جزوی حصہ صرف صفر پر مشتمل ہے، اس لیے مزید ضرب غیر ضروری ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ دیا گیا اعشاریہ بغیر کسی غلطی کے بائنری میں تبدیل ہو جاتا ہے، یعنی (0.65625)10 = (0.10101)2۔

آکٹل اور ہیکساڈیسیمل سے بائنری اور اس کے برعکس تبدیل کرنا مشکل نہیں ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ان کی بنیادیں (d - 8 اور d - 16) دو کے عدد کے مطابق ہیں (23 = 8 اور 24 = 16)۔

آکٹل یا ہیکساڈیسیمل نمبروں کو بائنری میں تبدیل کرنے کے لیے، ان کے ہر نمبر کو بالترتیب تین یا چار ہندسوں والے بائنری نمبر سے بدلنا کافی ہے۔

مثال کے طور پر، آکٹل نمبر (571)8 اور ہیکساڈیسیمل نمبر (179)16 کا بائنری نمبر سسٹم میں ترجمہ کریں۔

دونوں صورتوں میں ہمیں ایک ہی نتیجہ ملتا ہے، یعنی (571)8 = (179)16 = (101111001)2

کسی عدد کو بائنری ڈیسیمل سے ڈیسیمل میں تبدیل کرنے کے لیے، آپ کو بائنری ڈیسیمل میں دکھائے گئے نمبر کے ہر ٹیٹراڈ کو ڈیسیمل میں دکھائے گئے ہندسے سے بدلنا ہوگا۔

مثال کے طور پر، آئیے نمبر (0010 0001 1000، 0110 0001 0110) 2-10 کو اعشاریہ اشارے میں لکھتے ہیں، یعنی (0010 0001 1000، 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)